頭腦體操：找出十二個硬幣中的假幣 @ 劉兆宏的部落格--用喜樂的心寫見證

有12枚硬幣，其中1枚是假幣。假幣的重量與真幣不同，但不知道是比真幣重或輕；只有一個等臂托盤天平，請在使用三次天平的條件下，找出那枚假幣，並確定假幣是比真幣重還是輕。

解答：
將12枚硬幣分成A、B、C三組，每組各4枚，編碼如下：
A組中的4枚為A1、A2、A3、A4
B組中的4枚為B1、B2、B3、B4
C組中的4枚為C1、C2、C3、C4
為方便敘述，以下稱「假幣」為 “X”。

〔步驟〕
取A {A1、A2、A3、A4} 和B {B1、B2、B3、B4} 兩組，分置天平兩邊秤 (第一次)，會出現下述三種可能結果之一：
① A = B (同重)、② A < B (A組較輕)，或 ③ A > B (A組較重)。

若 ① A = B：
　則 “X” 在C {C1、C2、C3、C4} 中；且A、B兩組共8枚全為真幣，可適度利用。
　將「C1 C2」、「C3 A1」分置天平兩邊秤 (第二次)，會出現下述三種可能結果之一：
　若 (1)「C1 C2」=「C3 A1」
　　則 “X” 為C4；
　　再取C4與其餘11個真幣中的任何一個分置天平兩邊秤 (第三次)，就可得知 “X” (C4) 較真幣輕或重。
　若 (2)「C1 C2」<「C3 A1」
　　則有兩種可能：「“X” 在C1、C2中，且較真幣輕」，或「“X” 為C3，且較真幣重」
　　將C1、C2分置天平兩邊秤 (第三次)，會出現下述三種可能結果之一：
　　若 (i) C1 = C2：則 “X” 為C3，且較真幣重
　　若 (ii) C1 < C2：則 “X” 為C1，且較真幣輕
　　若 (iii) C1 > C2：則 “X” 為C2，且較真幣輕
　若 (3)「C1 C2」>「C3 A1」：
　　則有兩種可能：「“X” 在C1、C2中，且較真幣重」，或「“X” 為C3，且較真幣輕」
　　將C1、C2分置天平兩邊秤 (第三次)，會出現下述三種可能結果之一：
　　若 (i) C1 = C2：則 “X” 為C3，且較真幣輕
　　若 (ii) C1 < C2：則 “X” 為C2，且較真幣重
　　若 (iii) C1 > C2：則 “X” 為C1，且較真幣重

若 ② A < B：
　則有兩種可能：「“X” 在A1、A2、A3、A4中，且較真幣輕」，或「“X” 在B1、B2、B3、B4中，且較真幣重」。
　這種情況下，C組全為真幣，可適度利用。
　將「A1 B1 B2 B3」、「B4 C1 C2 C3」分置天平兩邊秤 (第二次)，會出現下述三種可能結果之一：
　若 (1)「A1 B1 B2 B3」=「B4 C1 C2 C3」：
　　則 “X” 在A2、A3、A4中，且較真幣輕
　　將A2、A3分置天平兩邊秤 (第三次)，會出現下述三種可能結果之一：
　　若 (i) A2 = A3：則 “X” 為A4，且較真幣輕
　　若 (ii) A2 < A3：則 “X” 為A2，且較真幣輕
　　若 (iii) A2 > A3：則 “X” 為A3，且較真幣輕
　若 (2)「A1 B1 B2 B3」<「B4 C1 C2 C3」：
　　則「“X” 為A1，且較真幣輕」，或「“X” 為B4，且較真幣重」
　　將A1、C1分置天平兩邊秤 (第三次)，會出現下述二種可能結果之一：
　　若 (i) A1 = C1：則 “X” 為B4，且較真幣重
　　若 (ii) A1 < C1：則 “X” 為A1，且較真幣輕
　若 (3)「A1 B1 B2 B3」>「B4 C1 C2 C3」：
　　則 “X” 在B1、B2、B3中，且較真幣重
　　將B1、B2分置天平兩邊秤 (第三次)，會出現下述三種可能結果之一：
　　若 (i) B1 = B2：則 “X” 為B3，且較真幣重
　　若 (ii) B1 < B2：則 “X” 為B2，且較真幣重
　　若 (iii) B1 > B2：則 “X” 為B1，且較真幣重